如图①,抛物线$y=-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{2}x+4$与$y$轴交于点$A$,与$x$轴交于点$B$,$C$,将直线$AB$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$,所得直线与$x$轴交于点$D$.
$(1)$求直线$AD$的函数解析式；
$(2)$如图②,若点$P$是直线$AD$上方抛物线上的一个动点.
①当点$P$到直线$AD$的距离最大时,求点$P$的坐标和最大距离；
②当点$P$到直线$AD$的距离为$\frac{5\sqrt{2}}{4}$时,求$\sin \angle PAD$的值.