【问题呈现】
如图$1$,$\angle MPN$的顶点在正方形$ABCD$两条对角线的交点处,$\angle MPN=90^{\circ}$,将$\angle MPN$绕点$P$旋转,旋转过程中,$\angle MPN$的两边分别与正方形$ABCD$的边$AD$和$CD$交于点$E$、$F($点$F$与点$C$,$D$不重合).探索线段$DE$、$DF$、$AD$之间的数量关系.
【问题初探】
$(1)$爱动脑筋的小悦发现,通过证明两个三角形全等,可以得到结论.请你写出线段$DE$、$DF$、$AD$之间的数量关系,并说明理由；
【问题引申】
$(2)$如图$2$,将图$1$中的正方形$ABCD$改为$\angle ADC=120^{\circ}$的菱形,$\angle EPF=60^{\circ}$,其他条件不变,请你帮小悦得出此时线段$DE$、$DF$、$AD$之间的数量关系是______；
【问题解决】
$(3)$如图$3$,在（2）的条件下,当菱形的边长为$8$,点$P$运动至与$A$点距离恰好为$7$的位置,且$\angle EPF$旋转至$DF=1$时,$DE$的长度为______.