如果两个分式$M$与$N$的和为常数$k$,且$k$为正整数,则称$M$与$N$互为"和整分式",常数$k$称为"和整值".如分式$M=\frac{x}{x+1}$,$N=\frac{1}{x+1}$,$M+N=\frac{x+1}{x+1}=1$,则$M$与$N$互为"和整分式","和整值"$k=1$.
$(1)$已知分式$A=\frac{x-7}{x-2}$,$B=\frac{x+3}{x-2}$互为"和整分式",则其"和整值"$k$的值为______.
$(2)$已知分式$C=\frac{3x-4}{x-2}$,$D=\frac{G}{{x}^{2}-4}$,$C$与$D$互为"和整分式",且"和整值"$k=3$,若$x$为正整数,分式$D$的值为正整数$t$.
①求$G$所代表的代数式；
②求$x$的值.
$(3)$在（2）的条件下,已知分式$P=\frac{3x-5}{x-3}$,$Q=\frac{mx-3}{3-x}$,且$P+Q=t$,若该关于$x$的方程无解,求实数$m$的值.