《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法,大意是:日出时,在地面上点$A$处立一根杆,在地面上沿着杆的影子的方向取一点$B$,使$B$,$A$两点间的距离为$10$步（步是古代的一种长度单位）,在点$B$处立一根杆；日落时,在地面上沿着点$B$处的杆的影子的方向取一点$C$,使$C$,$B$两点间的距离为$10$步,在点$C$处立一根杆.取$CA$的中点$D$,那么直线$DB$表示的方向为东西方向.
$(1)$上述方法中,杆在地面上的影子所在直线及点$A$,$B$,$C$的位置如图所示.使用直尺和圆规,在图中作$CA$的中点$D(保留作图痕迹)$；

$(2)$在如图中,确定了直线$DB$表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相垂直,可以判断直线$CA$表示的方向为南北方向,完成如下证明.
证明:在$\triangle ABC$中,$BA=$______,$D$是$CA$的中点,
$\therefore CA\bot DB( \_\_\_\_\_\_)(填推理的依据)$.
$\because$直线$DB$表示的方向为东西方向,
$\therefore$直线$CA$表示的方向为南北方向.