如图,某公路上有一隧道,顶部是圆弧形拱顶,圆心为$O$,隧道的水平宽$AB$为$24m$,$AB$离地面的高度$AE=10m$,拱顶最高处$C$离地面的高度$CD$为$18m$.若在拱顶的$M$,$N$处安装照明灯,且$M$,$N$离地面的高度相等,都为$17m$.
$(1)$求圆弧形拱顶的半径的长度；
$(2)$求$MN$的长度.