阅读理解材料$1$:小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题,在这个过程中,先计算分子中包含几个分母,求出整数部分,再把剩余的部分写成一个真分数.
例如:$\frac{5}{3}=1+\frac{2}{3}=1\frac{1}{3}$.
类似的,我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如:$\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$,$\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$.
材料$2$:为了研究字母$x$和分式$\frac{2}{x-1}$得变化关系,小明制作了如下表格:

$x$	$\ldots$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\ldots$
$\frac{2}{x-1}$	$\ldots$	$\frac{1}{-2}$	$\frac{2}{-3}$	$-1$	$-2$	无意义	$2$	$1$	$\frac{2}{3}$	$\ldots$

从表格可以看出,当$x$的取值大于$0$时,随着$x$的增大,$\frac{2}{x-1}$的取值减小,当$x$的取值小于$0$时,随着$x$的减小,$\frac{2}{x-1}$的取值增大.
请根据上述材料完成下列问题:
$(1)$把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；$\frac{x+6}{x}=$______,$\frac{2x+2}{x-2}=\_\_\_\_\_\_.$
$(2)$随着$x$值的变化,分式$\frac{x+6}{x}$的值是如何变化的?
$(3)$当$x$大于$2$时,随着$x$的增大,分式$\frac{2x+2}{x-2}$的值无限趋近于一个数,这个数是______.