已知$OA$为$\odot O$的半径,$AB$、$AC$为$\odot O$的弦,$\angle BAO=\angle CAO$.

$(1)$如图$1$,求证:$AB=AC$；
$(2)$如图$2$,点$D$为弧$AC$上一点,连接$BC$、$AD$、$CD$、$BD$,$AD+CD=BD$,求证:$\angle BAO=30^{\circ}$；
$(3)$如图$3$,在（2）的条件下,延长$AO$交$\odot O$于点$G$,$\odot O$的弦$CF$交$BD$于点$E$,连接$OE$、$GE$,$EF=BE$,$\angle AEF=\angle OEB$,$GE=\frac{\sqrt{21}}{3}$,求线段$AD$的长.