如图,$\triangle ABC$中,点$O$为$AC$边上的一个动点,过点$O$作直线$MN$∥$BC$,设$MN$交$\angle BCA$的外角平分线$CF$于点$F$,交$\angle ACB$内角平分线$CE$于$E$.
$(1)$试说明$EO=OF$；
$(2)$当点$O$运动到何处时,四边形$AECF$是矩形并证明你的结论；
$(3)$在（2）的条件下猜想$\triangle ABC$满足什么条件能使四边形$AECF$是正方形,并证明你的结论.