一个小正方体的展开图如图所示,已知正方体相对两个面上的数相同,且不相对两个面上的数值不相等.
$(1)$求出符合要求的$x$的值；
$(2)$已知一抛物线顶点的横、纵坐标正好是小正方体相邻两个面的数值$(x+1$,$x^{2})$,且该抛物线经过的另外一点横、纵坐标正好是小正方体的其他相邻的两个面的数值$\left(3x-2,x+2\right)$,判断$\left(x+2,x+1\right)$是否在该抛物线上?