在等边$\triangle ABC$中,$D$是$BC$边所在直线上一点（点$D$不与端点重合）,$\angle BAD=\alpha$.
$(1)$如图$1$,若点$D$在$CB$延长线上,点$B$关于直线$AD$的对称点为$P$,连接$PB$、$PC$,其中$PB$、$PC$分别交射线$AD$于点$E$、$F$.
①求$\angle ACF$的大小（用$\alpha$表示）；
②用等式表示线段$AF$、$EF$与$CF$之间的数量关系,并证明.
$(2)$如图$2$,若点$D$在$BC$边上,且$BD \lt CD$,点$D$关于直线$AB$的对称为$Q$,在线段$AD$上取一点$M$,使$\angle QMD=60^{\circ}$,连接$QM$并延长交$AC$于点$G$,直接写出线段$BD$与$CG$的数量关系是______.