矩形$ABCD$的边长$AB=18cm$,点$E$在$BC$上,把$\triangle ABE$沿$AE$折叠,使点$B$落在$CD$边的点$F$处,$\angle BAE=30^{\circ}$.
$(1)$如图$1$,求$DF$的长度；
$(2)$如图$2$,点$N$从点$F$出发沿$FD$以每秒$1cm$的速度向点$D$运动,同时点$P$从点$A$出发沿$AF$以每秒$2cm$的速度向点$F$运动,运动时间为$t$秒$\left(0 \lt t \lt 9\right)$,过点$P$作$PM\bot AD$,于点$M$.
①请证明在$N$、$P$运动的过程中,四边形$FNMP$是平行四边形；
②连接$NP$,当$t$为何值时,$\triangle MNP$为直角三角形?