如图,一次函数$y=k_{1}x+2$的图象与反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象相交于$A\left(m,4\right)$,$B$两点,与$x$,$y$轴分别相交于点$C$,$D$.且$\tan \angle ACO=2$.
$(1)$分别求这两个函数的表达式；
$(2)$以点$D$为圆心,线段$DB$的长为半径作弧与$x$轴正半轴相交于点$E$,连接$AE$,$BE$.求$\triangle ABE$的面积；
$(3)$根据函数的图象直接写出关于$x$的不等式$k_{1}x+2 \gt \frac{k_{2}}{x}$的解集.