如图,在$\triangle ABC$中,点$E$在$BC$上,$D$为$AE$中点,$CD\bot AE$,过点$D$作$DF$∥$BC$,交$AB$边于点$F$,交$AC$边于点$G$,点$H$在$FG$的延长线上,$GH=DG$,连接$AH$、$CH$.
$(1)$如图$1$,求证:四边形$ADCH$为矩形；
$(2)$如图$2$,当$\angle ACB=60^{\circ}$,$DG=2FD$时,请直接写出图中与线段$AD$长相等的线段.