如图,在矩形$ABCD$中,$AB=3cm$,$BC=6cm$.点$P$从点$D$出发向点$A$运动,运动到点$A$即停止；同时,点$Q$从点$B$出发向点$C$运动,运动到点$C$即停止,点$P$、$Q$的速度都是$1cm/s$.连接$PQ$、$AQ$、$CP$.设点$P$、$Q$运动的时间为$t s$.
$(1)$当$t=$______时,四边形$ABQP$是矩形；
$(2)$当$t=$______时,四边形$AQCP$是菱形；
$(3)$是否存在某一时刻$t$使得$PQ\bot PC$,如果存在,请求出$t$的值,如果不存在,请说明理由.
$(4)$在运动过程中,沿着$AQ$把$\triangle ABQ$翻折,当$t$为何值时,翻折后点$B$的对应点${B\’}$恰好落在$PQ$边上.