如图$1$,在矩形$ABCD$中,$AB=4$,$BC=5$,$E$是$BC$边上的一个动点（点$E$不与$B$、$C$重合$),DF\bot AE$,垂足为点$F$,过点$D$作$DG$∥$AE$,交$BC$的延长线于点$G$.
$(1)$若$DF=AB$,
①求证:四边形$AEGD$是菱形；②求四边形$CDFE$的周长；
$(2)$如图$2$,$AM\bot DG$于点$M$,$EN\bot DG$于点$N$,探究:
①当$CE$为何值时,四边形$AFDM$是正方形；
②点$E$在$BC$边上的运动过程中,四边形$AENM$的面积是否发生变化,若不变,请求出该四边形的面积；若变化,请说明理由.