如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=90^{\circ}$,点$A\left(m,m+1\right)$在第一象限,点$B$在$x$轴的负半轴上,$AB$交$y$轴于$D$,$AC$交$x$轴于$E$,$\angle ODE=2\angle AED$,点$F$在$y$轴上,且在点$D$的上方.
$(1)$如图$1$,求证:$DA$平分$\angle EDF$；
$(2)$如图$2$,连接$OA$,求证:$AO=AE$；
$(3)$直接写出点$C$的坐标______(用含$m$的式子表示).