如图，在平面直角坐标系中，已知$\triangle ABC$三个顶点的坐标分别是$A(2,2)$，$B(4,0)$，$C(4,-4).$
$(1)$请画出$\triangle ABC$向左平移$6$个单位长度后得到的$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$；
$(2)$以点$O$为位似中心，将$\triangle ABC$缩小为原来的一半，得到$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$，请在$y$轴右侧画出$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$，并求出$∠A_{2}C_{2}B_{2}$的正切值为______.