如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=2x+2$的图象与$y$轴交于点$A$,与反比例函数$y=\frac{3}{2x}(x＞0)$交于点$B$.
$(1)$求点$A$和点$B$的坐标；
$(2)$点$C$是$x$轴正半轴上一点,连接$BC$交反比例函数$y=\frac{3}{2x}(x＞0)$于点$D$,连接$AD$,若$\triangle ABD$的面积为$1$,求$\frac{BD}{CD}$；
$(3)$在（2）的条件下,点$E$是$x$轴上的一动点,点$F$在$y=2x+2$图象上,当$\triangle DEF$为等边三角形时,请直接写出点$E$的坐标,并写出其中一个点$E$坐标的求解过程.