如图,抛物线$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$与$x$轴的交点分别为$A$、$B$,与$y$轴的正半轴交于点$C$.已知抛物线的顶点坐标为$\left(1,4\right)$,点$B$的坐标是$\left(3,0\right)$.
$(1)$求该抛物线的解析式；
$(2)$在该抛物线上能否找到一点$P$,使$PO=PC$?若能,请求出点$P$的坐标；若不能,请说明理由.