例题:已知二次三项式$x^{2}-4x+m$分解因式后有一个因式是$\left(x+3\right)$,求另一个因式以及$m$的值.
解:设另一个因式为$\left(x+n\right)$,得$x^{2}-4x+m=\left(x+3\right)\left(x+n\right)$,则
$x^{2}-4x+m=x^{2}+\left(n+3\right)x+3n$,
$\therefore \left\{\begin{array}{l}n+3=-4\\ m=3n\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}m=-21\\ n=-7\end{array}\right.$,
$\therefore$另一个因式为$\left(x-7\right)$,$m$的值为$-21$.
请仿照上述方法解答下面问题:
$(1)$若$x^{2}+bx+c=\left(x-2\right)\left(x+3\right)$,则$b=$______；$c=$______；
$(2)$已知二次三项式$8x^{2}-14x-k$分解因式后有一个因式是$\left(4x-1\right)$,求另一个因式以及$k$的值；
$(3)$若多项式$x^{2}-mx+n(m$、$n$是常数）分解因式后,有一个因式是$\left(x-2\right)$,则代数式$\frac{{9}^{m}}{{3}^{n}}$的值.