如图,点$A$,$E$,$F$,$C$在一条直线上,$AF=m$,$AE=CF=n$.过点$E$,$F$分别作$DE\bot AC$,$BF\bot AC$,点$B$,$D$分别在直线$AC$两侧,$AB=CD$.连接$BD$,$BD$与直线$AC$交于点$G$.
$(1)$求证:$EG=FG$,$DG=BG$.
$(2)$若$m=10$,$n=6$,直接写出$EG$的长度______.
$(3)$若$\triangle ABF$保持不动,将$\triangle DEC$的边$EC$沿直线$AC$方向移动,其余条件不变,请你画出图形,并直接写出$EG$的长度（用$m$、$n$表示）