如图,在长方形$ABCD$中,$AB=4$,$BC=5$,延长$BC$到点$E$,使得$CE=\frac{1}{2}CD$,连结$DE$.若动点$P$从点$B$出发,以每秒$2$个单位的速度沿着$BC-CD-DA$向终点$A$运动,设点$P$的运动时间为$t$秒.
$(1)CE=\_\_\_\_\_\_;$当点$P$在$BC$上时$,BP=$______(用含有$t$的代数式表示）；
$(2)$在整个运动过程中,点$P$运动了______秒；
$(3)$当$t=$______时,$\triangle ABP$和$\triangle DCE$全等；
$(4)$在整个运动过程中,求$\triangle ABP$的面积.