如图，$\triangle ABC$在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为$A(0,4)$，$B(2,2)$，$C(4,6)($正方形网格中，每个小正方形的边长为$1).$
$(1)$以点$O$为位似中心，在第三象限画出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，使$\triangle A1B1C1$与$\triangle ABC$位似，
且位似比为$1$：$2$；
$(2)$画出将线段$AB$绕点$A$顺时针旋转$90°$所得的线段$AB_{2}$，并求出点$B$旋转到点$B_{2}$所经过的路径长．