如图,$\triangle ABC$中,点$O$是$AC$上一个动点,过点$O$作直线$MN$∥$BC$,设$MN$交$\angle BCA$的平分线于点$E$,交$\angle BCA$的外角平分线于点$F$.
$(1)$求证:$OE=OF$；
$(2)$若$CE=3$,$CF=4$,则$EF$的长______；
$(3)$当点$O$运动到何处时,四边形$AECF$是矩形,并证明你的结论.