在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle B=30^{\circ}$,过$A$作$AD\bot BC$于点$D$.
$(1)$如图$1$,过$D$作$DE\bot AB$于点$E$,连接$CE$,若$AE=2$,求线段$CE$的长；
$(2)$如图$2$,$H$为平面内一点,连接$AH$、$CH$,在$\triangle AGH$中,$AG=AH$,$\angle GAH=120^{\circ}$,延长$AG$与$CB$交于点$F$,过点$H$作$HP$∥$AF$交$BC$于点$P$,若$C$、$H$、$G$在一条直线上,求证:$BF=CP$；
$(3)$如图$3$,$M$为$AD$上一点,连接$BM$,$N$为$BM$上一点,若$AN=\sqrt{2}$,$BN=\sqrt{3}$,$\angle BAN-\angle CBN=30^{\circ}$,连接$CN$,请直接写出线段$CN$的长.