如图所示,在学习《图形的相似》时,小华利用几何画板软件,在平面直角坐标系中画出了$\triangle ABC$的位似图形$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$.
$(1)$在图$1$中标出$\triangle ABC$与$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的位似中心$M$点的位置；
$(2)$若以点$O$为位似中心,在图$2$中$y$轴的左侧画出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的位似图形$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$,且$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$与$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$的位似比为$2$；
$(3)$在（2）中,若$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$边上一点$P_{2}$的坐标为$\left(a,b\right)$,则点$P_{2}$在$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$上的对应点$P_{1}$的坐标为______.