周日早上,爷爷和小明约定到公园去锻炼身体,公园在小明家正东方向的$E$处,但是由于$AE$道路施工,爷爷先沿正北方向走了$300$米到达$B$处,再从$B$处沿北偏东$60^{\circ}$方向行走$300$米到达$C$处,从$C$处沿正东方向走了$150$米到达$D$处,最后沿$D\rightarrow E$方向到达$E$处,已知点$E$在点$D$的南偏东$45^{\circ}$方向.爷爷先出发$3$分钟后小明从家选择另一路线$A\rightarrow F\rightarrow E$步行前往$E$处,已知点$F$在点$A$的南偏东$60^{\circ}$方向,且点$F$在点$E$的正南方向.
$(1)$求$AE$的长度（结果保留根号）；
$(2)$若爷爷步行速度为$50$米$/$分,小明步行速度为$70$米$/$分,小明和爷爷始终保持匀速行驶,请计算说明小明和爷爷谁先到达公园?(参考数据:$\sqrt{2}≈1.4$；$\sqrt{3}≈1.7)$