综合与运用
阅读理解:若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内,则称该一元一次方程为该不等式组的"友好方程",例如:方程$x-1=3$的解为$x=4$,而不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-1＞1\\ x-2＜3\end{array}\right.$的解集为$2 \lt x \lt 5$,不难发现$x=4$在$2 \lt x \lt 5$的范围内,所以方程$x-1=3$是不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-1＞1\\ x-2＜3\end{array}\right.$的"友好方程".
$(1)$在方程①$x-3=0$；②$3x+2=x$；③$2x-10=0$中,不等式组$\left\{\begin{array}{c}x＞2\\ x≤5\end{array}\right.$的"友好方程"是______$;(填序号)$
$(2)$若关于$x$的方程$x+k=2$是不等式组$\left\{\begin{array}{l}3x-2＞6-x\\ x-1≥4x-13\end{array}\right.$的"友好方程",求$k$的取值范围.