如图（1）,正方形$ABCD$和正方形$AEFG$,边$AE$在边$AB$上,$AB=12$,$AE=6\sqrt{2}$,将正方形$AEFG$绕点$A$逆时针旋转$a\left(0^{\circ}\leqslant \alpha \leqslant 45^{\circ}\right)$.
$(1)$如图（2）,正方形$AEFG$旋转到此位置,求证:$BE=DG$；
$(2)$在旋转的过程中,当$\angle BEA=120^{\circ}$时,试求$BE$的长；
$(3)BE$的延长线交直线$DG$于点$P$,在旋转的过程中,是否存在某时刻$BF=BC$?若存在,试求出$DP$的长；若不存在,请说明理由.