阅读下面的材料:
解方程$x^{4}-7x^{2}+12=0$这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:
设$x^{2}=y$,则$x^{4}=y^{2}$,
$\therefore$原方程可化为$y^{2}-7y+12=0$,
解得$y_{1}=3$,$y_{2}=4$,
当$y=3$时,$x^{2}=3$,$x=±\sqrt{3}$,
当$y=4$时,$x^{2}=4$,$x=\pm 2$.
$\therefore$原方程有四个根是${x_1}=\sqrt{3}$,${x_2}=-\sqrt{3}$,$x_{3}=2$,$x_{4}=-2$.
以上方法叫换元法,达到了降次的目的,体现了数学的转化思想.
运用上述方法解答下列问题:
$(1)$解方程:$(x^{2}+x)^{2}-5(x^{2}+x)+4=0$；
$(2)$已知实数$a$,$b$满足$(a^{2}+b^{2})^{2}-3(a^{2}+b^{2})=10$,试求$a^{2}+b^{2}$的值.