"琅琅书声浸校园,悠悠书韵满人生".为提升学生的文学素养,培养学生的阅读兴趣,我校启动校园"读书季",并计划购进$A$,$B$两种图书作为年级竞诵活动的奖品.经调查,购进$A$种图书的总费用$y$元与购进$A$种图书本数$x$之间的函数关系如图所示.
$(1)$当$0\leqslant x\leqslant 50$和$x \gt 50$时,求$y$与$x$之间的函数关系式；
$(2)$现学校准备购进$A$,$B$两种图书共$300$本,已知$B$种图书每本$22$元.若购进$A$种图书不少于$60$本,且不超过$B$种图书本数的$2$倍,购进两种图书的总费用为$w$元,请求出$w$与$x$之间的函数表达式,并说明怎样购买$A$,$B$两种图书才能使总费用最少?总费用少为多少元?