【实践操作】
$(1)$如图$1$,在边长为$a$的大正方形中剪去一个边长为$b$的小正方形$\left(a \gt b\right)$,把图$1$中$L$形的纸片按图②剪拼,改造成了一个大长方形如图③,用含$a$、$b$的式子表示图③中大长方形的面积为______；

$(2)$请写出图①、图②、图③验证的乘法公式为:______；
【应用探究】
$(3)$利用（2）中验证的公式简便计算:$499\times 501+1$；
$(4)$计算:$(1-\frac{1}{{2}^{2}})×(1-\frac{1}{{3}^{2}})×(1-\frac{1}{{4}^{2}})×⋯×(1-\frac{1}{202{3}^{2}})×(1-\frac{1}{202{4}^{2}})$.