【探究】如图①,从边长为$a$的大正方形中剪掉一个边长为$b$的小正方形,将阴影部分沿虚线剪开,拼成图②的长方形.
$(1)$请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积:图①______图②______；
$(2)$比较两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式:______(用字母$a$、$b$表示）；

【应用】请应用这个公式完成下列各题:
①已知$2m-n=3$,$2m+n=4$,则$4m^{2}-n^{2}$的值为______；
②计算:$\left(x-3\right)\left(x+3\right)(x^{2}+9)$；
【拓展】计算$\left(2+1\right)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)\ldots (2^{32}+1)$的结果为______.