若一个正整数$m$是两个连续正奇数或连续正偶数的乘积,即$m=n\left(n+2\right)$,其中$n$为正整数,则称$m$为"进步数",$n$为$m$的"进步起点".例如,$35=5\times 7$,则$35$是"进步数",$5$为$35$的"进步起点".
$(1)a$是"进步数",它的"进步起点"为$1$,则$a=$______；$b$是$8$的"进步起点",则$b=$______；
$(2)$把"进步数"$x$与"进步数"$y$的差记为$E\left(x,y\right)$,其中$x \gt y$,$E\left(x,y\right) \gt 0$,例如,$24=4\times 6$,$15=3\times 5$,则$E\left(24,15\right)=24-15=9$.若"进步数"$x$的"进步起点"为$s$,"进步数"$y$的"进步起点"为$t$,当$E\left(x,y\right)=16$时,求$\frac{s}{t}$的值；
$(3)$若$m=k^{2}(k$为整数）,试探究$m$是否是"进步数",请说明理由.