数学活动课上,老师准备了图$1$中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图$1$依次记$A$、$B$、$C$三类,拼成了一个如图$2$所示的正方形.

$(1)$请用两种不同的方法表示图$2$中阴影部分的面积和.
方法$1:$______；
方法$2:\_\_\_\_\_\_.$
$(2)$请直接写出三个代数式:$\left(a+b\right)^{2}$,$a^{2}+b^{2}$,$ab$之间的一个等量关系______.
$(3)$若要拼出一个面积为$\left(a+2b\right)\left(a+b\right)$的矩形,则需要$A$类卡片______张,$B$类卡片______张,$C$类卡片______张.
$(4)$根据（2）题中的等量关系,解决如下问题:
①已知$m+n=5$,$m^{2}+n^{2}=20$,求$mn$和$\left(m-n\right)^{2}$的值.
②已知$\left(x-2021\right)^{2}+\left(x-2023\right)^{2}=34$,求$\left(x-2022\right)^{2}$.