一张矩形纸片,剪下一个正方形,剩下一个矩形,称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形,剩下一个矩形,称为第二次操作$\ldots$若在第$n$次操作后,剩下的矩形为正方形,则称原矩形为$n$阶正边矩形.例如图矩形$ABCD$中,若$AB=4$,$BC=6$,两次操作后剩下的矩形为正方形,则称矩形$ABCD$为$2$阶正边矩形.已知一个$3$阶正边矩形的较长边为$15$,较短边为整数,则该矩形较短边的长为______.