有这样一个问题:探究函数$y=x^{2}-4|x|+3$的图象与性质.
小丽根据学习函数的经验,对函数$y=x^{2}-4|x|+3$的图象与性质进行了探究.
下面是小丽的探究过程,请补充完整:
$(1)$函数$y=x^{2}-4|x|+3$的自变量$x$的取值范围是______.
$(2)$如图,在平面直角坐标系$xOy$中,画出了函数$y=x^{2}-4|x|+3$的部分图象,用描点法将这个函数的图象补充完整:
$(3)$对于上面的函数$y=x^{2}-4|x|+3$,下列四个结论:
①函数图象关于$y$轴对称；
②函数既有最大值,也有最小值；
③当$x \gt 2$时,$y$随$x$的增大而增大,当$x \lt -2$时,$y$随$x$的增大而减小；
④函数图象与$x$轴有$2$个公共点.
所有正确结论的序号是______.
$(4)$结合函数图象,解决问题:
若关于$x$的方程$x^{2}-4|x|+3=k$有$4$个不相等的实数根,则$k$的取值范围是______.