如图,一次函数$y=x-1$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}\left(x \gt 0\right)$的图象交于点$B\left(3,a\right)$,与$x$轴交于点$A$.点$C$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x \gt 0)$的图象上的一点,$CD\bot x$轴,垂足为$D$,$CD$与$AB$交于点$E$,$OA=AD$.
$(1)$求$a$,$k$的值；
$(2)$若点$P$为$x$轴上的一点,求当$PB+PC$最小时,点$P$的坐标；
$(3)F$是平面内一点,是否存在点$F$使得以$A$、$B$、$C$、$F$为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有符合条件的点$F$的坐标；若不存在,请说明理由.