如图为某种材料温度$y\left(^{\circ}\mathrm{C}\right)$随时间$x\left(\min \right)$变化的函数图象.已知该材料初始温度为$15^{\circ}\mathrm{C}$,温度上升阶段$y$与时间$x$成一次函数关系,且在第$5$分钟温度达到最大值$60^{\circ}\mathrm{C}$后开始下降；温度下降阶段,温度$y$与时间$x$成反比例关系.
$(1)$分别求该材料温度上升和下降阶段,$y$与$x$间的函数关系式；
$(2)$根据工艺要求,当材料的温度高于$30^{\circ}\mathrm{C}$时,可以进行产品加工,问可加工多长时间?