如图,$\triangle ABD$与$\triangle AEC$都是等边三角形,连接$BE$,$CD$,点$M$,$N$分别是$BE$,$CD$的中点,连接$AM$,$AN$,$MN$.
$(1)$求证:$BE=CD$；
$(2)$求证:$\triangle AMN$是等边三角形；
$(3)$如图$2$,$\triangle ABD$与$\triangle AEC$都是等腰直角三角形,连接$BE$,$CD$,点$M$,$N$分别是$BE$,$CD$的中点,连接$AM$,$AN$.若点$N$恰好也是$AE$的中点,且$AE=2$,求$\triangle ABE$的面积.