如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y_{1}=kx+b\left(k\neq 0\right)$的图象与反比例函数${y}_{2}=\frac{m}{x}(m≠0)$的图象相交于第一、三象限内的$A\left(3,5\right)$,$B\left(a,-3\right)$两点,与$x$轴交于点$C$.
$(1)$求该反比例函数和一次函数的解析式；
$(2)$在$y$轴上找一点$P$使$PB-PC$最大,求$PB-PC$的最大值及点$P$的坐标.