【观察猜想】（1）我们知道,正方形的四条边都相等,四个角都为直角.如图$1$,在正方形$ABCD$中,点$E$,$F$分别在边$BC$,$CD$上,连接$AE$,$AF$,$EF$,并延长$CB$到点$G$,使$BG=DF$,连接$AG$.若$\angle EAF=45^{\circ}$,则$BE$,$EF$,$DF$之间的数量关系为______；
【类比探究】（2）如图$2$,当点$E$在线段$BC$的延长线上,且$\angle EAF=45^{\circ}$时,试探究$BE$,$EF$,$DF$之间的数量关系,并说明理由；
【拓展应用】（3）如图$3$,在$Rt\triangle ABC$中,$AB=AC$,$D$,$E$在$BC$上,$\angle DAE=45^{\circ}$,若$\triangle ABC$的面积为$12$,$BD\cdot CE=4$,请直接写出$\triangle ADE$的面积.