如图,二次函数$y=x^{2}+ax+b$的图象与直线$y=-x+3$的图象交于$A$,$B$两点,点$A$的坐标为$\left(-4,7\right)$,点$B$的坐标为$\left(1,2\right)$.
$(1)$求二次函数$y=x^{2}+ax+b$的表达式；
$(2)$点$M$是线段$AB$上的动点,将点$M$向下平移$h\left(h \gt 0\right)$个单位得到点$N$.
①若点$N$在二次函数的图象上,求$h$的最大值；
②若$h=4$,线段$MN$与二次函数的图象有公共点,请求出点$M$的横坐标$m$的取值范围.