已知四边形$ABCD$为矩形,$AB=3$,$BC=4$.对于线段$AD$上的点$E$,做出这样三个规定:
$(1)$点$E$为线段$AD$上向点$D$运动的点,将这个点运动的时间为每秒记录一次；
$(2)$点$E$每一秒运动的路程恰好为上一次记录当中点$A$到线段$BE$的距离；
$(3)$当每一次记录的线段$AE$长之和恰好与矩形$ABCD$的面积一半相同时,点$E$停止运动.
若线段$AE$的值总共记录了$10$次,那么线段$AE$的初始值为______.