如图$1$,有$A$型、$B$型正方形卡片和$C$型长方形卡片各若干张.

【课本回顾】
$(1)$如图$2$,用$1$张$A$型卡片,$1$张$B$型卡片,$2$张$C$型卡片拼成一个正方形,用两种方法计算这个正方形面积,可以得到一个关于$a$,$b$的等式,请直接写出这个等式______；
【探究提升】
$(2)$选取$1$张$A$型卡片,$4$张$C$型卡片$,$______张$B$型卡片,可以拼成一个正方形,这个正方形的边长为______(用含$a$,$b$的代数式表示）；
【知识应用】
$(3)$如图$3$,两个正方形边长分别为$m$,$n$,$m+n=10$,$mn=18$,求阴影部分的面积.