如图,四边形$ABCD$,$AB=AD=BC=DC$,$\angle A=\angle ABC=\angle ADC=\angle C$,$E$、$F$分别为$AB$、$BC$上的动点.

$(1)$如图$1$,已知:$AE=a$,$\angle DEA=60^{\circ}$,则$DE$的长为______(用$a$表示）；
$(2)$如图$2$,已知:$AD=b$,$AE=BF$,求:当$DE+DF$取得最小值时$CF$的值（用$b$表示）；
$(3)$如图$3$,已知:$G$为$AD$上一点,$\angle GEF=60^{\circ}$,$\angle EGF=80^{\circ}$,$GH$、$FH$分别为$\angle EGF$和$\angle GFE$的角平分线,$N$为线段$GF$上的动点,$NM\bot EF$,垂足为$M$,$GH=c$,$EF=d$,求:当$NM+NH$取最小值时,求$MF$的值（用$c$,$d$表示).