【问题情境】:数学综合实践课上老师和同学们一起进行折纸,通过折叠探究其中的数学奥妙.
操作发现:
$(1)$实践小组按照如图$1$所示的方式,将矩形纸片$ABCD$沿对角线$AC$折叠,使点$D$落在点${D\’}$处,$AD\’$交$BC$于点$E$.
①判断$\triangle AEC$的形状并证明；
②若$AB=2$,$BC=4$,求$\triangle AEC$的面积；
继续探究:（2）勤学小组按照如图$2$所示的方式,将矩形纸片$ABCD$分别沿$AE$,$CF$折叠,点$B$,$D$的对应点为点${B\’}$,${D\’}$,使$B$,$D$落在对角线$AC$上,且${B\’}$,$D$两点恰好重合.
请判断四边形$AECF$的形状,并说明理由；
深入探究:（3）博学小组按照如图$3$所示的方式,首先将矩形纸片$ABCD$对折,使$AD$与$BC$重合,得到折痕$MN$,然后把纸片展开；将纸片沿过点$A$的直线折叠,使得点$B$落在$MN$上的点${B\’}$处,折痕交$BC$于点$E$,交$MN$于点$F$,延长$AB\’$交$DC$的延长线于点$P$,然后展开纸片,若$MF=1$,$AD=8$,则$PC= \_\_\_\_\_\_.(直接写出结果)$