如图,已知$\triangle ABC$是锐角三角形$\left(AB \gt AC\right)$.
$(1)$请用无刻度直尺和圆规作图:作直线$l$,使$l$上的各点到$B$、$C$两点的距离相等；设直线$l$与$AB$、$BC$分别交于点$M$、$N$,在线段$MN$上找一点$O$,使点$O$到边$AB$、$BC$的距离相等；(不写作法,保留作图痕迹）
$(2)$在（1）的条件下,若$BM=10$,$BC=12$,求$ON$的长.