$($本题满分$10$分）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题,这种方法称为等面积法,这是一种重要的数学方法,请你用等面积法来探究下列三个问题:
$(1)$如图$1$是著名的"赵爽弦图",由四个全等的直角三角形拼成,请用它验证勾股定理$c^{2}=a^{2}+b^{2}$.
$(2)$如图$2$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$CD$是$AB$边上的高,$AC=4$,$BC=3$,求$CD$的长度；
$(3)$如图$1$,若大正方形的面积是$13$,小正方形的面积是$1$,求$\left(a+b\right)^{2}$的值$\left(a \lt b\right)$.