四边形$ABCD$为平行四边形,点$P$为平面内一点
$(1)$若$AP=BC$,连$AP$、$DP$；
①如图$1$,点$P$在边$BC$上,求证:$PD$平分$\angle APC$；
②如图$2$,过$P$作$PD$的垂线交$DC$的延长线于点$F$,$FP$交$AB$于点$E$,求证:$DF=2AE$.
$(2)$如图$3$,$\angle ABC=60^{\circ}$,点$P$在对角线$DB$上,点$M$在边$AD$上,$MP=CD$且$\angle AMP=\angle ABD$,$AB=5$,$BP=3$,直接写出平行四边形$ABCD$的面积.